导数的几何意义
数学
选修
北师大版
导数的几何意义
数学
选修
北师大版
地区:陕西省-汉中市-西乡县
学校:西乡县第一中学
发布时间:2018-06-04 14:43:12
教学目标
1、知识与技能:理解导数的几何意义,掌握应用导数几何意义求解曲线切线
方程的方法。
2、过程与方法:通过对切线定义和导数几何意义的探讨,培养学生观察、分析、
比较和归纳的能力。并通过对问题的探究体会逼近、类比、从已知探讨未知、从
特殊到一般的数学思想方法。
3、情感态度与价值观:让学生在观察,思考,发现中学习,启发学生研究问题
时,抓住问题本质,严谨细致思考,规范得出解答。
学情分析
选修2是理科学生学习的内容,学生学习兴趣较高,但独立探索,解决问题的能力稍差,数学语言的表达及数形结合的能力、对知识灵活运用的能力仍有不足.通过前两节对函数平均变化率和导数定义的学习,学生对有关导数的问题已经有了初步的认识,但是由于导数定义的抽象性,学生理解起来仍具有一定的困难。
根据上述教材结构与内容分析,立足学生的认知水平,制定如下教学目标和重点、难点。
新设计
在教学过程中始终以学生为主体开展一切教学活动,注重师生互动,共同探索;教师精心设计问题,引导学生循序渐进,获得知识。
(1) 新课的引入:通过课件的展示,提出问题,激发学生的求知欲。
(2) 探索导数的几何意义:数形结合,让学生在观察,思考,发现中学习。
(3) 例题处理:始终从问题出发,引导学生在探索中获得答案。
(4) 随堂演练:深化对导数几何意义的理解与应用,巩固新知。
重点难点
教学重点:导数的几何意义的探讨,并应用导数的几何意义解决相关问题。
教学难点:深刻理解导数的几何意义以及对曲线切线方程的求解。
教学过程
第1学时
教学目标
知识与技能:理解导数的几何意义,掌握应用导数几何意义求解曲线切线
方程的方法。
2、过程与方法:通过对切线定义和导数几何意义的探讨,培养学生观察、分析、
比较和归纳的能力。并通过对问题的探究体会逼近、类比、从已知探讨未知、从
特殊到一般的数学思想方法。
3、情感态度与价值观:让学生在观察,思考,发现中学习,启发学生研究问题
时,抓住问题本质,严谨细致思考,规范得出解答。
学时重点
教学重点:导数的几何意义的探讨,并应用导数的几何意义解决相关问题。
学时难点
教学难点:深刻理解导数的几何意义以及对曲线切线方程的求解。
教学活动
新活动
问题一、以前学习过圆的切线是如何定义的?
演示课件:圆的割线与切线。
学生:圆的切线定义用直线与圆交点个数或圆心到直线的距离来定义.
课件演示:一般曲线的切线和割线
问题二、曲线在点P处切线用能用直线与切线的公共点个数来定义吗?
设计意图:概念的辨析有助于学生准确理解概念,避免了学习的负向迁移.
通过普通曲线的切线与圆的切线对比,使学生认识到曲线的切线不能以直线与曲线的交点个数决定。由此提出:如何定义曲线上某点的切线呢?激发学生的求知欲望,进入本节课重点内容的探索过程。
问题三:那么对于一般的曲线,切线该如何寻找呢?
新活动
(二)导数几何意义的探求过程
问题1: 求导数的步骤是怎样的?
问题2: 你能自助作图说说平均变化率 表示什么吗?
请在图像中画出来
设计意图:通过提问,学生复习,实施类比迁移,引入本节课题,并为探寻导数的几何意义作好准备.
问题3:已知点P,Q,当点Q趋近于点P 时,割线PQ的变化趋势是什么?
设计意图:通过PPT课件演示割线的动态变化趋势,为学生观察、思考提供平台,引导学生共同分析,直观获得切线定义.通过逼近方法,将割线趋于确定位置的直线定义为切线, 使学生体会这种定义适用于各种曲线.反映了切线的直观本质.
学生:点Q趋近于点P时,割线PQ趋近于确定的位置PT,PT为曲线的切线。
教师:引导学生归纳总结曲线在点P处切线与曲线可以有不止1个公共点.直线与曲线只有一个公共点时,不一定是曲线的切线.
问题4、你能从上述过程中概括出函数在
处的导数
的几何意义吗?
设计意图:要求学生数与形结合,将切线斜率和导数相联系,观察、思考获得导数的几何意义.
新活动
(三)导数几何意义的应用
例1、求抛物线 在点(1,2)处切线的斜率。
问题1、点(1,2)是否是抛物线上点?
设计意图:引导学生注意已知点的位置对求切线的斜率的影响。
学生:点(1,2)是抛物线上的点,即为切点。
问题2、根据导数的几何意义曲线上某一点切线的斜率应等于?
设计意图:强化导数的几何意义。
学生:曲线上某一点切线的斜率应等于这一点的导数。
问题3、试着写出例题1的解题步骤。
设计意图:锻炼学生独立思考与解答问题的能力。
例2、求双曲线在点
处切线方程。
问题1、如果求切线方程,我们还需要什么条件?
设计意图:引导学生从问题出发思考问题,培养学生清晰的解题思路。
学生:常用点斜式求直线方程。
问题2、如何计算切线斜率?
设计意图:进一步熟悉导数的几何意义,并使学生初步掌握求解曲线上某一点切线方程的常用方法。
学生:利用求导数的方法计算。
师生:一起求出双曲线在点
处的导数,并用直线方程的点斜式写出直线方程。
新活动
(四)归纳小结:
先由学生口头总结,然后教师归纳整理:
1、导数的几何意义是曲线在点P处切线的斜率.(是函数 在P 处的瞬时变化率).
2、应用导数的几何意义求曲线的切线方程一般步骤。
(五)作业:学生用书训练3
课堂实录
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